这其实就是一个小结论….我做题的时候碰到的，研究了下就写了篇博客。
（其实主要就是把wiki上一篇论文翻译简化了下）
结论是这样的：设$n$个点$s$个连通块的有标号森林个数为$f(n,s)$，则：
考虑$n$个点$s$个连通块的森林的所有情况，那么$1$号点的点度可能为$0,1,\cdots , n-s$。
假设$1$号点点度为$j$，那么我们选$j$个点出来硬点他们为$1$的儿子，这里有$\binom{n-s}{j}$的方案，然后我们把$1$删掉，就得到了一个$n-1$个点，$s+j-1$个连通块的森林，假设我们已经知道这种森林有$f(n-1,s+j-1)$种方案，那么我们就可以得到递推式：
初始状态：
那么我们用数学归纳法证明这个定理，假设$f(n-1,s)$是对的，那么：
这里是利用了组合数的对称性，然后我们把中间的括号展开，用二项式定理：
注意到$\binom{n-s}{j}j=(n-s)\binom{n-s-1}{j-1}$，变换一下：
这就是需要证明的式子。