「PKUSC2018」神仙的游戏

发表于 分类于

题目链接：https://loj.ac/problem/6436。

注意到$\rm border$和循环节是一一对应的，具体来说如果有一个长度为$x$的$\rm border$，那么这个串一定有一个长度为$n-x$的循环节。

那么我们只需要判断循环节就好了。

注意到假设一对$0,1$中间有$x$个字符，那么一定没有长度为$x+1$的循环节，并且所有长度为$x+1$的约数也不可能出现。

所以可以得到一个暴力：枚举每一对$0,1$，拿个桶记录一下，统计答案的时候，假设我们要判断长度为$x$的循环节，只需要枚举倍数就行了。

可以发现后面复杂度是对的，我们优化预处理复杂度就行。

那么搞出两个生成函数$F(x)=\sum_{i=0}^{n-1}[s_i=0]x^i$和$G(x)=\sum_{i=0}^{n-1}[s_{n-i-1}=1]x^i$乘起来。

那么如果一对$0,1$距离为$x$，那么可能会贡献到$n-x-1$或者$n+x-1$这一位，并且这两个位置只对应距离为$x$。

所以判一下就好了，复杂度$O(n\log n)$。

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

void read(int &x) {
    x=0;int f=1;char ch=getchar();
    for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') f=-f;
    for(;isdigit(ch);ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';x*=f;
}

void print(int x) {
    if(x<0) putchar('-'),x=-x;
    if(!x) return ;print(x/10),putchar(x%10+48);
}
void write(int x) {if(!x) putchar('0');else print(x);putchar('\n');}

#define lf double
#define ll long long 

#define pii pair<int,int >
#define vec vector<int >

#define pb push_back
#define mp make_pair
#define fr first
#define sc second

#define FOR(i,l,r) for(int i=l,i##_r=r;i<=i##_r;i++)

const int maxn = 2e6+10;
const int inf = 1e9;
const lf eps = 1e-8;
const int mod = 998244353;

char s[maxn];int n;
int a[maxn],b[maxn],ban[maxn];

int w[maxn],pos[maxn],N,bit;

int qpow(int a,int x) {
    int res=1;
    for(;x;x>>=1,a=1ll*a*a%mod) if(x&1) res=1ll*res*a%mod;
    return res;
}

void gen() {
    for(N=1,bit=-1;N<n*2;N<<=1,bit++);
    for(int i=1;i<N;i++) pos[i]=pos[i>>1]>>1|((i&1)<<bit);
    w[0]=1,w[1]=qpow(3,(mod-1)/N);
    for(int i=2;i<N;i++) w[i]=1ll*w[i-1]*w[1]%mod;
}

void ntt(int *r,int op) {
    for(int i=1;i<N;i++) if(pos[i]>i) swap(r[i],r[pos[i]]);
    for(int i=1,d=N>>1;i<N;i<<=1,d>>=1)
        for(int j=0;j<N;j+=i<<1)
            for(int k=0;k<i;k++) {
                int x=r[j+k],y=1ll*w[k*d]*r[i+j+k]%mod;
                r[j+k]=x+y;if(r[j+k]>=mod) r[j+k]-=mod;
                r[i+j+k]=x-y;r[i+j+k]+=r[i+j+k]>>31&mod;
            }
    if(op==-1) {
        reverse(r+1,r+N);int d=qpow(N,mod-2);
        for(int i=0;i<N;i++) r[i]=1ll*r[i]*d%mod;
    }
}

int main() {
    scanf("%s",s);n=strlen(s);gen();
    for(int i=0;i<n;i++) a[i]=s[i]=='1',b[n-i-1]=s[i]=='0';
    ntt(a,1),ntt(b,1);
    for(int i=0;i<N;i++) a[i]=1ll*a[i]*b[i]%mod;
    ntt(a,-1);ll ans=0;
    for(int i=1;i<n;i++) {
        int bo=0;
        for(int j=i;j<n;j+=i) if(a[n-j-1]||a[n+j-1]) bo=1;
        if(bo) continue;
        ans^=1ll*(n-i)*(n-i);
    }ans^=1ll*n*n;
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}