题目链接：https://loj.ac/problem/2253。
首先题目意思就是：
求$f_n$。
显然如果那个$n^k$是个常数啥的就直接矩阵优化了。
注意到$k$非常小，那么我们可以在矩阵中利用二项式定理转移$n^k$。
具体来说我们记录$1,n,n^2,\cdots n^k$，那么转移矩阵就是一堆组合数，自己脑补一下就没了。
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| #include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
void read(int &x) {
x=0;int f=1;char ch=getchar();
for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') f=-f;
for(;isdigit(ch);ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';x*=f;
}
void print(int x) {
if(x<0) putchar('-'),x=-x;
if(!x) return ;print(x/10),putchar(x%10+48);
}
void write(int x) {if(!x) putchar('0');else print(x);putchar('\n');}
#define lf double
#define ll long long
#define pii pair<int,int >
#define vec vector<int >
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define fr first
#define sc second
#define FOR(i,l,r) for(int i=l,i##_r=r;i<=i##_r;i++)
const int maxn = 1e6+10;
const int inf = 1e9;
const lf eps = 1e-8;
const int mod = 1e9+7;
int k;ll n;
struct matrix {
int a[13][13];
matrix () {memset(a,0,sizeof a);}
int* operator [] (const int &x) {return a[x];}
matrix operator * (matrix x) const {
matrix res;
for(int i=0;i<=k+1;i++)
for(int j=0;j<=k+1;j++)
for(int kk=0;kk<=k+1;kk++)
res[i][j]=(res[i][j]+1ll*a[i][kk]*x[kk][j]%mod)%mod;
return res;
}
matrix operator ^ (ll x) const {
matrix res,p=*this;for(int i=0;i<=k+1;i++) res[i][i]=1;
for(;x;x>>=1,p=p*p) if(x&1) res=res*p;
return res;
}
}ans,tr;
int c(int a,int b) {
int res=1;
for(int i=1;i<=a;i++) res*=i;
for(int i=1;i<=b;i++) res/=i;
for(int i=1;i<=a-b;i++) res/=i;
return res;
}
int main() {
scanf("%lld",&n),read(k);k++;
for(int i=2;i<=k+1;i++) ans[0][i]=1;
tr[0][0]=1,tr[1][0]=1,tr[0][1]=1,tr[1][1]=1,tr[k+1][1]=1;
for(int j=2;j<=k+1;j++)
for(int i=2;i<=j;i++)
tr[i][j]=c(j-2,i-2);
write((ans*(tr^n))[0][1]);
return 0;
}
|