题目链接： https://loj.ac/problem/6539 。
有一个很显然的式子：
带进去把题目中的$(i,j)$去掉：
注意到后面是一个对一个集合里两两求$\gcd$的式子，再用一次上面那个式子：
然后直接暴力对着式子算就好了。。。注意两两$\gcd$的时候枚举每个数的约数算。
分析一波复杂度：
显然$a_i=i$的时候最大，也就是说复杂度是：
然后OEIS上说这个是$\frac{1}{\pi^2}n\log ^3 n+o(n\log ^2 n)$的，具体我也不太会。。
总之跑的很快（
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| #include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
void read(int &x) {
x=0;int f=1;char ch=getchar();
for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') f=-f;
for(;isdigit(ch);ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';x*=f;
}
void print(int x) {
if(x<0) putchar('-'),x=-x;
if(!x) return ;print(x/10),putchar(x%10+48);
}
void write(int x) {if(!x) putchar('0');else print(x);putchar('\n');}
#define lf double
#define ll long long
#define pii pair<int,int >
#define vec vector<int >
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define fr first
#define sc second
#define FOR(i,l,r) for(int i=l,i##_r=r;i<=i##_r;i++)
const int maxn = 1e6+10;
const int inf = 1e9;
const lf eps = 1e-8;
const int mod = 1e9+7;
int a[maxn],n,phi[maxn],pri[maxn],vis[maxn],tot;
vector<int > d[maxn];
void gen() {
phi[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++) {
if(!vis[i]) pri[++tot]=i,phi[i]=i-1;
for(int j=1;j<=tot&&i*pri[j]<=n;j++) {
vis[i*pri[j]]=1;
if(i%pri[j]==0) {phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j];break;}
phi[i*pri[j]]=phi[i]*(pri[j]-1);
}
}
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j*j<=i;j++)
if(i%j==0) {d[i].pb(j);if(j*j!=i) d[i].pb(i/j);}
}
int t[maxn];
int s(int x) {
for(int i=x;i<=n;i+=x)
for(auto p:d[a[i]]) t[p]++;
int res=0;
for(int i=x;i<=n;i+=x)
for(auto p:d[a[i]]) {
if(!t[p]) continue;
res=(res+1ll*phi[p]*t[p]%mod*t[p]%mod)%mod;
t[p]=0;
}
return res;
}
int main() {
read(n);gen();
for(int i=1;i<=n;i++) read(a[i]);
int ans=0;
for(int i=1;i<=n;i++) ans=(ans+1ll*phi[i]*s(i)%mod)%mod;
write(ans);
return 0;
}
|