「luogu 4931」情侣？给我烧了！

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题目链接：https://www.luogu.org/problem/P4931。

蛮有意思的题，我一开始的想法是这样的：

设fk表示至少k对情侣坐在一起，那么考虑枚举这k对是怎么坐的，剩下的随便填，式子就是：

fk=(nk)22kk!(2n−2k)!

显然可以把恰好容斥出来，但是这样每次算都要O(n)，复杂度就是O(Tn2)，不太能过。

然后有一个很有意思的东西就是说，可以设fn表示n对情侣没有一对坐在一起的方案数，那么可以直接把答案表示出来：

ansn,k=(nk)22kk!fn−k

其实和上面是一样的，只是说这次填剩下的人的时候保证了两两不坐在一起，那么这个东西就是恰好。

注意到f不依赖于某个n，也就是说如果我们可以O(n2)算f，那么复杂度就降为了O(Tn+n2)，可以通过没加强的版本。

算f有个比较显然的办法就是，还是用至少k个坐在一起的方案数去容斥，这次只需要容斥恰好0个坐在一起的方案数，那么容易写出式子：

fn=n∑i=0(−1)i(ni)22ii!(2n−2i)!

这样就可以通过未加强版了。

然后我就不会加强版了。。。

去瞄了一眼题解，发现有神仙使劲优化上面式子然后得到了递推式。。但是我太菜了没看懂。。。这里有个小清新的想法 看题解看来的：

现在忘记之前的容斥，我们考虑找到一个f的递推关系，我们枚举第一排坐的是谁，因为这俩不能是情侣所以有2n(2n−2)种情况，那么考虑对应的两个人是怎么坐的，有两种情况：

  • 他们俩坐一起了，那么对其他人不影响了，方案数就是2(n−1)fn−2。
  • 否则我们硬点他俩不能坐一起，方案数就是fn−1。

所以递推式就是fn=4n(n−1)fn−1+8n(n−1)2fn−2。

复杂度O(n+T)（针对加强版题面）。

给个加强版的代码：

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

void read(int &x) {
    x=0;int f=1;char ch=getchar();
    for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') f=-f;
    for(;isdigit(ch);ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';x*=f;
}

void print(int x) {
    if(x<0) putchar('-'),x=-x;
    if(!x) return ;print(x/10),putchar(x%10+48);
}
void write(int x) {if(!x) putchar('0');else print(x);putchar('\n');}

#define lf double
#define ll long long 

#define pii pair<int,int >
#define vec vector<int >

#define pb push_back
#define mp make_pair
#define fr first
#define sc second

#define FOR(i,l,r) for(int i=l,i##_r=r;i<=i##_r;i++)

const int maxn = 1e7+10;
const int inf = 1e9;
const lf eps = 1e-8;
const int mod = 998244353;

int f[maxn],fac[maxn],ifac[maxn],pw2[maxn];

int qpow(int a,int x) {
    int res=1;
    for(;x;x>>=1,a=1ll*a*a%mod) if(x&1) res=1ll*res*a%mod;
    return res;
}

int c(int a,int b) {return 1ll*fac[a]*ifac[b]%mod*ifac[a-b]%mod;}

void gen() {
    int n=1e7;fac[0]=ifac[0]=pw2[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++) fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod,pw2[i]=1ll*pw2[i-1]*2%mod;
    ifac[n]=qpow(fac[n],mod-2);
    for(int i=n-1;i;i--) ifac[i]=1ll*ifac[i+1]*(i+1)%mod;

    f[0]=1,f[1]=0;
    for(int i=2;i<=n;i++) f[i]=2ll*i*2ll*(i-1)%mod*(f[i-1]+2ll*(i-1)*f[i-2]%mod)%mod;
}

int main() {
    gen();int t;read(t);
    while(t--) {
        int n,i;read(n),read(i);
        write(1ll*c(n,i)*c(n,i)%mod*pw2[i]%mod*fac[i]%mod*f[n-i]%mod);
    }
    return 0;
}