题目链接：https://www.luogu.org/problem/P4931。
蛮有意思的题，我一开始的想法是这样的：
设$f_k$表示至少$k$对情侣坐在一起，那么考虑枚举这$k$对是怎么坐的，剩下的随便填，式子就是：
显然可以把恰好容斥出来，但是这样每次算都要$O(n)$，复杂度就是$O(Tn^2)$，不太能过。
然后有一个很有意思的东西就是说，可以设$f_n$表示$n$对情侣没有一对坐在一起的方案数，那么可以直接把答案表示出来：
其实和上面是一样的，只是说这次填剩下的人的时候保证了两两不坐在一起，那么这个东西就是恰好。
注意到$f$不依赖于某个$n$，也就是说如果我们可以$O(n^2)$算$f$，那么复杂度就降为了$O(Tn+n^2)$，可以通过没加强的版本。
算$f$有个比较显然的办法就是，还是用至少$k$个坐在一起的方案数去容斥，这次只需要容斥恰好$0$个坐在一起的方案数，那么容易写出式子：
这样就可以通过未加强版了。
然后我就不会加强版了。。。
去瞄了一眼题解，发现有神仙使劲优化上面式子然后得到了递推式。。但是我太菜了没看懂。。。这里有个小清新的想法 看题解看来的：
现在忘记之前的容斥，我们考虑找到一个$f$的递推关系，我们枚举第一排坐的是谁，因为这俩不能是情侣所以有$2n(2n-2)$种情况，那么考虑对应的两个人是怎么坐的，有两种情况：
- 他们俩坐一起了，那么对其他人不影响了，方案数就是$2(n-1)f_{n-2}$。
- 否则我们硬点他俩不能坐一起，方案数就是$f_{n-1}$。
所以递推式就是$f_n=4n(n-1)f_{n-1}+8n(n-1)^2f_{n-2}$。
复杂度$O(n+T)$（针对加强版题面）。
给个加强版的代码：
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| #include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
void read(int &x) {
x=0;int f=1;char ch=getchar();
for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') f=-f;
for(;isdigit(ch);ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';x*=f;
}
void print(int x) {
if(x<0) putchar('-'),x=-x;
if(!x) return ;print(x/10),putchar(x%10+48);
}
void write(int x) {if(!x) putchar('0');else print(x);putchar('\n');}
#define lf double
#define ll long long
#define pii pair<int,int >
#define vec vector<int >
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define fr first
#define sc second
#define FOR(i,l,r) for(int i=l,i##_r=r;i<=i##_r;i++)
const int maxn = 1e7+10;
const int inf = 1e9;
const lf eps = 1e-8;
const int mod = 998244353;
int f[maxn],fac[maxn],ifac[maxn],pw2[maxn];
int qpow(int a,int x) {
int res=1;
for(;x;x>>=1,a=1ll*a*a%mod) if(x&1) res=1ll*res*a%mod;
return res;
}
int c(int a,int b) {return 1ll*fac[a]*ifac[b]%mod*ifac[a-b]%mod;}
void gen() {
int n=1e7;fac[0]=ifac[0]=pw2[0]=1;
for(int i=1;i<=n;i++) fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod,pw2[i]=1ll*pw2[i-1]*2%mod;
ifac[n]=qpow(fac[n],mod-2);
for(int i=n-1;i;i--) ifac[i]=1ll*ifac[i+1]*(i+1)%mod;
f[0]=1,f[1]=0;
for(int i=2;i<=n;i++) f[i]=2ll*i*2ll*(i-1)%mod*(f[i-1]+2ll*(i-1)*f[i-2]%mod)%mod;
}
int main() {
gen();int t;read(t);
while(t--) {
int n,i;read(n),read(i);
write(1ll*c(n,i)*c(n,i)%mod*pw2[i]%mod*fac[i]%mod*f[n-i]%mod);
}
return 0;
}
|