「集训队作业2018」喂鸽子

发表于 更新于 分类于

题目链接：http://uoj.ac/problem/449。

学到了多项式新操作。

先用$\min-\max$容斥搞一下，那么答案就是：

$f$表示集合$s$期望多少步之后某一只鸽子最先被喂饱，此时其他鸽子都没饱，因为每个鸽子是一样的，所以等价于任意$i$个鸽子。

假设我们现在要算$f(c)$，我们硬点集合内的某只鸽子最先被喂饱，那么最后把答案乘$c$就好了。

假设某只鸽子是一号鸽子，那么喂鸽子的序列一定满足：一号鸽子出现了$k$次且最后一次是一号，剩下的鸽子出现次数小于$k$。

我们可以搞一个$\rm EGF$把这种序列的方案数算出来：

那么恰好$i$次能喂饱第一只鸽子的概率就是$\dfrac{i!}{n^i}[x^i]g_c(x)$，中括号是取系数。

而因为每期望$\dfrac{n}{c}$次才会出现一次在当前集合里的鸽子，所以长度为$i$的序列的贡献就是$\dfrac{ni}{c}​$，所以答案就是：

复杂度$O(n^2k^2)$，用$\rm NTT$可以优化到$O(n^2k\log k)$。

但是由于突然不想写ntt并且正好从别人博客学到了一个做法，考虑能不能更快的算出$g$。

设$a(x)$：

和上面的东西是一样的，考虑对它求导：

可以对照系数递推：设$f_{c,i}$表示$c$次方的第$i$项系数，可得：

复杂度就被优化成了$O(n^2k)$。

不用写ntt了，好！

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

void read(int &x) {
    x=0;int f=1;char ch=getchar();
    for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') f=-f;
    for(;isdigit(ch);ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';x*=f;
}

void print(int x) {
    if(x<0) putchar('-'),x=-x;
    if(!x) return ;print(x/10),putchar(x%10+48);
}
void write(int x) {if(!x) putchar('0');else print(x);putchar('\n');}

#define lf double
#define ll long long 

#define pii pair<int,int >
#define vec vector<int >

#define pb push_back
#define mp make_pair
#define fr first
#define sc second

#define FOR(i,l,r) for(int i=l,i##_r=r;i<=i##_r;i++)

const int maxn = 1e6+10;
const int inf = 1e9;
const lf eps = 1e-8;
const int mod = 998244353;

int n,k,f[52][50002],fac[maxn],ifac[maxn],inv[maxn];

int qpow(int a,int x) {
    int res=1;
    for(;x;x>>=1,a=1ll*a*a%mod) if(x&1) res=1ll*res*a%mod;
    return res;
}

void gen() {
    fac[0]=ifac[0]=inv[0]=inv[1]=1;int m=n*k;
    for(int i=1;i<=m;i++) fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod;
    for(int i=2;i<=m;i++) inv[i]=1ll*(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
    ifac[m]=qpow(fac[m],mod-2);
    for(int i=m-1;i;i--) ifac[i]=1ll*ifac[i+1]*(i+1)%mod;
}

void dp() {
    f[0][0]=1;
    for(int c=1;c<=n;c++) {
        f[c][0]=1;
        for(int i=1;i<=c*(k-1);i++) {
            f[c][i]=f[c][i-1];
            if(i>=k) f[c][i]=(f[c][i]-1ll*ifac[k-1]*f[c-1][i-(k-1)-1]%mod+mod)%mod;
            f[c][i]=1ll*f[c][i]*c%mod*inv[i]%mod;
        }
    }
}

int main() {
    read(n),read(k);
    gen();dp();int ans=0;
    for(int x=1,p=1;x<=n;x++,p=-p) {
        int res=0;
        for(int i=k,iv=qpow(inv[x],k);i<=x*k-x+1;i++,iv=1ll*iv*inv[x]%mod) 
            res=(res+1ll*fac[i-1]*iv%mod*i%mod*n%mod*inv[x]%mod*f[x-1][i-k]%mod*ifac[k-1]%mod)%mod;
        res=1ll*res*x%mod;
        ans=(ans+1ll*p*res*fac[n]%mod*ifac[n-x]%mod*ifac[x]%mod)%mod;
    }write((ans+mod)%mod);
    return 0;
}