「CF1251F」Red-White Fence

发表于

题目链接：https://codeforces.com/problemset/problem/1251/F。

首先枚举红色的矩形的高，假设是$s$，然后在进行处理。

假设要求的周长是$c$，那么也就是说要放$(c-2s-2)/2$个白色的矩形。

所以我们就把问题转化为了求放置$x$个白色矩形的方案数。

注意到如果一种高度只有一个，那么可以任意的放左边或右边；而如果大于等于两个，那么可以同时放左边右边，但是一边最多一个。

假设第一种的个数为$a$，第二种的个数为$b$，那么我们枚举用了多少个第一种，可以得到答案：

解释下，从$2b$里选$i$个是因为我们把一个可以拆成两个状态：左边或右边。

显然卷积一下就可以预处理所有$x$的答案，复杂度就是$O(nk\log n)$。

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
void read(int &x) {
    x=0;int f=1;char ch=getchar();
    for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') f=-f;
    for(;isdigit(ch);ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';x*=f;
}
 
void print(int x) {
    if(x<0) putchar('-'),x=-x;
    if(!x) return ;print(x/10),putchar(x%10+48);
}
void write(int x) {if(!x) putchar('0');else print(x);putchar('\n');}
 
#define lf double
#define ll long long 
 
#define pii pair<int,int >
#define vec vector<int >
 
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define fr first
#define sc second
 
#define data asd09123jdf02i3h
 
#define FOR(i,l,r) for(int i=l,i##_r=r;i<=i##_r;i++)
 
const int maxn = 2.5e6+10;
const int inf = 1e9;
const lf eps = 1e-8;
const int mod = 998244353;
 
int qpow(int a,int x) {
    int res=1;
    for(;x;x>>=1,a=1ll*a*a%mod) if(x&1) res=1ll*res*a%mod;
    return res;
}
 
int n,k,a[maxn],b[12],q,t[maxn],ans[maxn],s[maxn];
 
int f[maxn],g[maxn],fac[maxn],ifac[maxn],mx;
 
int c(int a,int b) {
    if(a<b) return 0;
    return 1ll*fac[a]*ifac[b]%mod*ifac[a-b]%mod;
}
 
int w[maxn],pos[maxn],N,bit;
 
void gen(int l) {
    for(N=1,bit=-1;N<=l<<1;N<<=1,bit++);
    for(int i=1;i<N;i++) pos[i]=pos[i>>1]>>1|((i&1)<<bit);
    w[0]=1,w[1]=qpow(3,(mod-1)/N);
    for(int i=2;i<N;i++) w[i]=1ll*w[i-1]*w[1]%mod;
}
 
void ntt(int *r,int op) {
    for(int i=1;i<N;i++) if(pos[i]>i) swap(r[i],r[pos[i]]);
    for(int i=1,d=N>>1;i<N;i<<=1,d>>=1)
        for(int j=0;j<N;j+=i<<1)
            for(int k=0;k<i;k++) {
                int x=r[j+k],y=1ll*w[k*d]*r[i+j+k]%mod;
                r[j+k]=(x+y)%mod,r[i+j+k]=(x-y+mod)%mod;
            }
    if(op==-1) {
        int d=qpow(N,mod-2);reverse(r+1,r+N);
        for(int i=0;i<N;i++) r[i]=1ll*r[i]*d%mod;
    }
}
 
void solve(int x) {
    int m=0,cnt=0;
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        if(a[i]>=x) continue;
        if(!s[a[i]]) m++;
        else if(s[a[i]]==1) cnt++,m--;
        s[a[i]]++;
    }int l=(mx-x*2-2)>>1;gen(l);
    for(int i=0;i<=l;i++) {
        f[i]=1ll*c(m,i)*qpow(2,i)%mod;
        g[i]=c(cnt*2,i);
    }
    for(int i=l+1;i<N;i++) f[i]=g[i]=0;
    ntt(f,1),ntt(g,1);
    for(int i=0;i<N;i++) f[i]=1ll*f[i]*g[i]%mod;
    ntt(f,-1);
    for(int i=1;i<=q;i++)
        if(t[i]>=x*2+2) ans[i]=(ans[i]+f[(t[i]-x*2-2)>>1])%mod;
    for(int i=1;i<=n;i++) s[a[i]]=0;
}
 
int main() {
    read(n),read(k);
    for(int i=1;i<=n;i++) read(a[i]);
    for(int i=1;i<=k;i++) read(b[i]);
    read(q);
    for(int i=1;i<=q;i++) read(t[i]),mx=max(mx,t[i]);
 
    fac[0]=ifac[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++) fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod;
    ifac[n]=qpow(fac[n],mod-2)%mod;
    for(int i=n-1;i;i--) ifac[i]=1ll*ifac[i+1]*(i+1)%mod;
    
    for(int i=1;i<=k;i++) solve(b[i]);
    for(int i=1;i<=q;i++) write(ans[i]);
    return 0;
}