「BZOJ5483」Balanced Beam

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题目链接：https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=5483。

首先假设$f_i$表示从$i$出发最优策略下的期望最大值，那么根据定义可以写出式子：

显然最后$f$肯定都是确定了的，也就是说，对于一个点$i$，你每次到这个点都一定会选择动或者不动，这个决策是根据这个点来的。

所以假设你当前要算$x$的答案，并且最靠近$x$的决策为不动的点为$l,r$，那么显然$(l,r)$都会选择动，也就是说式子就是：

显然这是个等差数列的形式，如果我们把$(i,a_i)$看作平面上的点，显然所有的$f$值都在凸包上。

复杂度$O(n)$，注意这题有点卡精度。

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long 

void read(int &x) {
    x=0;int f=1;char ch=getchar();
    for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') f=-f;
    for(;isdigit(ch);ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';x*=f;
}

void print(int x) {
    if(x<0) putchar('-'),x=-x;
    if(!x) return ;print(x/10),putchar(x%10+48);
}
void write(int x) {if(!x) putchar('0');else print(x);putchar('\n');}

#define lf double
#define ll long long 

#define pii pair<int,int >
#define vec vector<int >

#define pb push_back
#define mp make_pair
#define fr first
#define sc second

#define data asd09123jdf02i3h

#define FOR(i,l,r) for(int i=l,i##_r=r;i<=i##_r;i++)

const int maxn = 1e6+10;
const int inf = 1e9;
const lf eps = 1e-8;
const int mod = 1e9+7;

int n,a[maxn],top;
pii sta[maxn];

pii operator - (pii a,pii b) {return mp(a.fr-b.fr,a.sc-b.sc);}
ll operator * (pii a,pii b) {return 1ll*a.fr*b.sc-a.sc*b.fr;}

signed main() {
    read(n);
    for(int i=1;i<=n;i++) read(a[i]),a[i]*=1e5; // 这样可以保证精度
    sta[++top]=mp(0,0);
    for(int i=1;i<=n+1;i++) {
        pii x=mp(i,a[i]);
        while(top>1&&(x-sta[top-1])*(sta[top]-sta[top-1])<0) top--;
        sta[++top]=x;
    }
    for(int i=1,p=1;i<=n;i++) {
        while(sta[p+1].fr<=i) p++;
        printf("%lld\n",(ll)(sta[p].sc+1.0*(sta[p+1].sc-sta[p].sc)*(i-sta[p].fr)/(sta[p+1].fr-sta[p].fr)));
    }
    return 0;
}