题目链接：https://codeforces.com/contest/1034/problem/E。
很精妙的构造。
直接套用$\rm vfk$论文可以得到一个$O(2^nn^2)$的暴力，但是没什么用。。
出题人给出了一个很牛逼的方法：
设$f_{i}=a_i\cdot 4^{cnt(i)},g_{i}=b_i\cdot 4^{cnt(i)}$，$\rm cnt$是二进制下$1$的个数，$4$是模数，模数改一改正确性也不会有问题。
然后把$f,g$或卷积起来得到$h$，$\frac{h_i}{4^{cnt(i)}}\bmod 4$就是答案。
考虑下为什么，这实际上是把每一位都当成了一个小多项式，那么如果没有进位，每一位就是所有${\rm cnt}(x)+{\rm cnt}(y)=i$的答案。
但是由于我们只需要最低位，所以考虑进位也不会有任何影响。
复杂度$O(2^nn)$。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
| #include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
void read(int &x) {
x=0;int f=1;char ch=getchar();
for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') f=-f;
for(;isdigit(ch);ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';x*=f;
}
void print(int x) {
if(x<0) putchar('-'),x=-x;
if(!x) return ;print(x/10),putchar(x%10+48);
}
void write(int x) {if(!x) putchar('0');else print(x);putchar('\n');}
#define lf double
#define ll long long
#define pii pair<int,int >
#define vec vector<int >
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define fr first
#define sc second
#define FOR(i,l,r) for(int i=l,i##_r=r;i<=i##_r;i++)
const int maxn = 2.1e6+10;
const int inf = 1e9;
const lf eps = 1e-8;
const int mod = 1e9+7;
#define cnt(x) __builtin_popcount(x)
char s[maxn],t[maxn];
int n,a[maxn],b[maxn];
void fwt(int *r,int op) {
for(int i=1;i<1<<n;i<<=1)
for(int j=0;j<1<<n;j+=i<<1)
for(int k=0;k<i;k++)
r[i+j+k]+=r[j+k]*op;
}
signed main() {
read(n);scanf("%s%s",s,t);
for(int i=0;i<1<<n;i++) {
a[i]=(1ll<<(cnt(i)<<1))*(s[i]-'0');
b[i]=(1ll<<(cnt(i)<<1))*(t[i]-'0');
}
fwt(a,1),fwt(b,1);
for(int i=0;i<1<<n;i++) a[i]=a[i]*b[i];
fwt(a,-1);
for(int i=0;i<1<<n;i++) putchar(((a[i]>>(cnt(i)<<1))&3)+'0');puts("");
return 0;
}
|